De verdubbelingstijd berekenen doe je met de formule: stel de groeifactor gelijk aan 2 en los de tijd op. Bij een exponentiële groei van de vorm N = b · gt zoek je de waarde van t waarvoor geldt dat gt = 2. Die t is je verdubbelingstijd. Hieronder zie je precies hoe je dat aanpakt, inclusief rekenvoorbeelden.
De formule voor verdubbelingstijd berekenen
Bij exponentiële groei gebruik je de standaardformule N = b · gt. Hierin is N de eindwaarde, b de beginwaarde, g de groeifactor per tijdseenheid en t de tijd. Een verdubbeling treedt op wanneer N precies twee keer zo groot is als b. Je deelt beide kanten door b en krijgt dan:
gt = 2
Om t te vinden, gebruik je de logaritme. De oplossing is:
t = log(2) / log(g)
Je kunt ook de natuurlijke logaritme gebruiken: t = ln(2) / ln(g). Beide methoden geven hetzelfde resultaat. De waarde van log(2) is ongeveer 0,301 en ln(2) is ongeveer 0,693.
Stap voor stap een verdubbelingstijd uitrekenen
Stel: een bacteriepopulatie groeit met een groeifactor van g = 1,5 per uur. Wanneer is de populatie verdubbeld?
- Schrijf de vergelijking op: 1,5t = 2
- Neem de logaritme van beide kanten: t · log(1,5) = log(2)
- Bereken t: t = log(2) / log(1,5) = 0,301 / 0,176 ≈ 1,71 uur
Na ongeveer 1 uur en 43 minuten is de populatie dus verdubbeld. Dit werkt voor elke groeifactor groter dan 1. Is de groeifactor kleiner dan 1, dan krimpt de hoeveelheid en spreek je over een halveringstijd in plaats van een verdubbelingstijd.
Werken met een groeipercentage in plaats van een groeifactor
Soms geeft een opgave een groeipercentage, bijvoorbeeld “de bevolking groeit met 3% per jaar”. Je zet dat eerst om naar een groeifactor: g = 1 + (p / 100). Bij 3% per jaar is g dus 1,03. Daarna bereken je de verdubbelingstijd op de gebruikelijke manier:
t = log(2) / log(1,03) = 0,301 / 0,0128 ≈ 23,4 jaar
Een handige vuistregel: deel het getal 70 door het groeipercentage (de “regel van 70”). Bij 3% groei geeft dat 70 / 3 ≈ 23,3 jaar. Dat klopt goed met de exacte berekening. Deze vuistregel werkt betrouwbaar bij kleine percentages (ruwweg tot zo’n 10%). Bij hogere groeicijfers geeft de exacte logaritmeformule een nauwkeuriger antwoord.
Veelgemaakte fouten bij het berekenen
Een veelgemaakte fout is om de groeifactor te verwarren met het groeipercentage. Een groei van 5% per jaar heeft groeifactor 1,05, niet 0,05. Als je 0,05 invult in de formule, krijg je een negatieve uitkomst, wat wiskundig klopt maar hier niets te betekenen heeft.
Daarnaast vergeten leerlingen soms dat de verdubbelingstijd onafhankelijk is van de beginwaarde b. Het maakt niet uit of je begint met 10 of met 10.000: de tijd tot verdubbeling is bij dezelfde groeifactor altijd gelijk. Dat is een kenmerkende eigenschap van exponentiële groei.
Voorbeeldtabel: verdubbelingstijd bij verschillende groeifactoren
| Groeifactor (g) | Groei per periode | Verdubbelingstijd (t) |
|---|---|---|
| 1,01 | 1% per periode | ≈ 69,7 perioden |
| 1,05 | 5% per periode | ≈ 14,2 perioden |
| 1,10 | 10% per periode | ≈ 7,3 perioden |
| 1,25 | 25% per periode | ≈ 3,1 perioden |
| 2,00 | 100% per periode | 1 periode |
De formule t = log(2) / log(g) is de kern van de berekening. Heb je een groeipercentage, zet dat dan eerst om naar een groeifactor. Wil je een snelle schatting, gebruik dan de regel van 70. Voor een nauwkeurig antwoord in een toets of opdracht gebruik je altijd de exacte logaritmeformule.
