Een driehoek met een hoek van 90 graden, ook wel een rechthoekige driehoek genoemd, bereken je met de stelling van Pythagoras en de goniometrische functies sinus, cosinus en tangens. Zodra je twee van de drie zijden kent, of één zijde en één hoek, kun je alle andere maten uitrekenen. Hieronder vind je precies hoe dat werkt, met voorbeelden.
De basisformule: stelling van Pythagoras
In een rechthoekige driehoek is de langste zijde de schuine zijde, ook wel de hypotenusa genoemd. Die staat tegenover de hoek van 90 graden. Als je de andere twee zijden a en b kent, bereken je de hypotenusa c zo:
c = √(a² + b²)
Stel dat a = 3 en b = 4. Dan is c = √(9 + 16) = √25 = 5. Dit is het bekende 3-4-5 getal, een van de eenvoudigste rechthoekige driehoeken.
Als je juist een van de kortere zijden zoekt, draai je de formule om:
- a = √(c² – b²)
- b = √(c² – a²)
Concreet: als c = 10 en b = 6, dan is a = √(100 – 36) = √64 = 8.
Hoeken berekenen in een driehoek met 90 graden
De drie hoeken in een rechthoekige driehoek tellen altijd op tot 180 graden. Eén hoek is al 90 graden, dus de andere twee hoeken zijn samen ook 90 graden. Als je een van die twee hoeken weet, trek je die af van 90 om de derde te vinden.
Weet je de hoeken nog niet, maar ken je wel de zijden? Dan gebruik je de goniometrische functies. Hierbij is de hoek die je berekent (noem die α) een van de twee scherpe hoeken, en geldt:
- Sinus: sin(α) = overstaande zijde / schuine zijde
- Cosinus: cos(α) = aanliggende zijde / schuine zijde
- Tangens: tan(α) = overstaande zijde / aanliggende zijde
Om de hoek zelf te vinden, gebruik je de inverse functie op je rekenmachine: arcsin, arccos of arctan (soms geschreven als sin⁻¹, cos⁻¹ of tan⁻¹).
Voorbeeld: a = 3, c = 5. Dan is sin(α) = 3/5 = 0,6, dus α = arcsin(0,6) ≈ 36,87 graden. De andere scherpe hoek is dan 90 – 36,87 = 53,13 graden.
Driehoek berekenen met 90 graden: stappenplan
Volg deze stappen om snel en foutloos te rekenen:
- Stap 1: Bepaal welke gegevens je hebt: zijn het twee zijden, of één zijde en één hoek?
- Stap 2: Zet de zijden op de juiste plek: a en b zijn de rechthoekszijden, c is de schuine zijde (hypotenusa).
- Stap 3: Gebruik de stelling van Pythagoras als je twee zijden kent en een derde zoekt.
- Stap 4: Gebruik sinus, cosinus of tangens als je een hoek en een zijde kent en een andere zijde zoekt.
- Stap 5: Bereken de ontbrekende hoeken: de twee scherpe hoeken tellen op tot 90 graden.
Zijde berekenen als je een hoek kent
Stel dat je de hoek α = 35 graden weet en de schuine zijde c = 8. Dan bereken je de overstaande zijde a en de aanliggende zijde b als volgt:
- a = c × sin(α) = 8 × sin(35°) ≈ 8 × 0,574 ≈ 4,59
- b = c × cos(α) = 8 × cos(35°) ≈ 8 × 0,819 ≈ 6,55
Controleer je antwoord altijd met Pythagoras: 4,59² + 6,55² ≈ 21,1 + 42,9 = 64 = 8². Klopt.
Veelgemaakte fouten
Een veelgemaakte fout is de zijden verwisselen: de hypotenusa is altijd de langste zijde en staat tegenover de rechte hoek. Gebruik je per ongeluk een rechthoekszijde als hypotenusa, dan klopt de uitkomst niet. Controleer dit altijd vóór je gaat rekenen.
Een andere valkuil is de rekenmachine-instelling. Werk je met graden (wat in de meeste schoolopgaven het geval is), zorg dan dat je rekenmachine op “DEG” staat en niet op “RAD” (radialen). Bij RAD geeft arcsin(0,6) een heel ander getal terug.
Tot slot: de stelling van Pythagoras werkt alleen bij een rechthoekige driehoek. Voor driehoeken zonder hoek van 90 graden heb je de sinus- of cosinusregel nodig, maar dat valt buiten dit onderwerp.
Met de stelling van Pythagoras en de goniometrische functies bereken je elke zijde en hoek in een rechthoekige driehoek, zolang je maar twee bekende maten hebt als startpunt. Het stappenplan hierboven helpt je om systematisch te werk te gaan en veelgemaakte fouten te vermijden.
