De lichaamsdiagonaal van een rechthoekige balk bereken je met een uitbreiding van de stelling van Pythagoras. Je past die stelling twee keer toe: eerst op de grondvlakdiagonaal, daarna op de ruimtediagonaal die door de hele balk loopt. Het resultaat is de formule: d = √(l² + b² + h²), waarbij l de lengte is, b de breedte en h de hoogte van de balk.
Wat is de lichaamsdiagonaal?
Een lichaamsdiagonaal (ook wel ruimtediagonaal of ruimtediagonale genoemd) is de lijn die van de ene hoek van een ruimtelijk figuur naar de tegenoverliggende hoek loopt, dwars door het binnenste van het figuur. Bij een balk loopt die lijn dus van links-voor-onder naar rechts-achter-boven (of een andere combinatie van tegenovergestelde hoeken). De lijn gaat niet langs een vlak of een rib, maar recht door de balk heen.
Dit is iets anders dan een vlakdiagonaal. Een vlakdiagonaal verbindt twee tegenoverliggende hoeken van één zijvlak. De lichaamsdiagonaal is altijd langer, omdat die ook de hoogte meeneemt.
De formule voor het lichaamsdiagonaal berekenen
Voor een rechthoekige balk met lengte l, breedte b en hoogte h geldt:
d = √(l² + b² + h²)
Deze formule volgt logisch uit twee stappen:
- Stap 1: Bereken de grondvlakdiagonaal (de diagonaal van de bodem). Die is √(l² + b²).
- Stap 2: Gebruik die grondvlakdiagonaal samen met de hoogte als de twee rechthoekszijden van een nieuw driehoekje. De lichaamsdiagonaal is dan de schuine zijde: √((√(l² + b²))² + h²) = √(l² + b² + h²).
Rekenvoorbeeld: lichaamsdiagonaal berekenen stap voor stap
Stel, je hebt een balk met lengte 6 cm, breedte 4 cm en hoogte 3 cm.
- Stap 1: l² + b² = 6² + 4² = 36 + 16 = 52. De grondvlakdiagonaal is √52 ≈ 7,21 cm.
- Stap 2: l² + b² + h² = 52 + 3² = 52 + 9 = 61. De lichaamsdiagonaal is √61 ≈ 7,81 cm.
Je hoeft stap 1 niet apart uit te rekenen als je meteen alle drie de waarden optelt en dan de wortel neemt. Tussenstap 1 helpt je om het principe te begrijpen, maar bij het uitrekenen sla je die vaak over.
Lichaamsdiagonaal van een kubus
Een kubus is een speciaal geval van de balk, waarbij l = b = h = a. De formule vereenvoudigt dan tot:
d = √(a² + a² + a²) = √(3a²) = a√3
Bij een kubus met riblengte 5 cm is de lichaamsdiagonaal dus 5√3 ≈ 8,66 cm. Dit is een handige formule om uit je hoofd te kennen als je vaak met kubussen werkt.
Veelgemaakte fouten
De meest voorkomende fout is dat leerlingen alleen de stelling van Pythagoras op de grondvlakdiagonaal toepassen en vergeten de hoogte erbij te betrekken. Dat geeft de vlakdiagonaal van het grondvlak, niet de lichaamsdiagonaal. Controleer altijd of je drie maten hebt meegenomen in je berekening.
Een andere valkuil is het vergeten om de wortel te nemen aan het einde. De uitkomst van l² + b² + h² is nog niet de diagonaal; pas na het nemen van de wortel heb je de juiste lengte. Schrijf de formule volledig op voordat je begint met invullen, zodat je geen stap overslaat.
Met de formule d = √(l² + b² + h²) en twee toepassingen van Pythagoras kun je de lichaamsdiagonaal van elke rechthoekige balk berekenen. Controleer altijd of je alle drie de afmetingen hebt, en zet de wortel pas aan het einde. Zo kom je elke keer tot de juiste uitkomst.
